Exercice 8, § 7

Soient $A$ un anneau et $a$ un idéal de $A$. Posons $a^i = A$ pour $i \leq 0$ et considérons la $A$-algèbre $\mathscr{A}(a) = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a^{-i} v^i \subset A[v, v^{-1}]$ et la $A$-algèbre $P(a) = \sum_{i \geq 0} a^i v^i \subset A[v]$. Ce sont deux $A$-algèbres graduées ayant même anneau total de fractions. Montrer que pour un élément $a \in A$ les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’élément $av$ de la $\mathscr{A}(a)$-algèbre $A[v, v^{-1}]$ est entier sur $\mathscr{A}(a)$.

(ii) L’élément $av$ de la $P(a)$-algèbre $A[v]$ est entier sur $P(a)$.

(iii) Il existe une relation de dépendance intégrale :

On dira que $a$ est entier sur l’idéal $a$.