Bài tập 8, § 7

Cho $A$ là một vành và $a$ là một iđêan của $A$. Đặt $a^i = A$ với $i \leq 0$ và xét đại số $A$-$\mathscr{A}(a) = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a^{-i} v^i \subset A[v, v^{-1}]$ và đại số $A$-$P(a) = \sum_{i \geq 0} a^i v^i \subset A[v]$. Đây là hai đại số $A$ phân bậc có cùng vành phân thức toàn phần. Bây giờ chứng minh rằng đối với một phần tử $a \in A$ các điều kiện sau là tương đương:

(i) Phần tử $av$ của đại số $\mathscr{A}(a)$-$A[v, v^{-1}]$ là nguyên trên $\mathscr{A}(a)$.

(ii) Phần tử $av$ của đại số $P(a)$-$A[v]$ là nguyên trên $P(a)$.

(iii) Tồn tại một quan hệ phụ thuộc nguyên:

Ta sẽ nói rằng $a$ là nguyên trên iđêan $a$.