Exercice 9, § 7

a) Soient A et a comme ci-dessus et soit b un idéal de A contenant a. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Tout élément de b est entier sur a. (ii) La $\mathscr{A}(a)$-algèbre graduée $\mathscr{A}(b)$ est entière. (iii) La P(a)-algèbre graduée P(b) est entière. (iv) Il existe un entier $k \geqslant 0$ tel que $a.b^k = b^{k+1}$ et donc $a^n.b^k = b^{k+n}$ pour tous les entiers positifs n. On dit que b est entier sur a. b) Montrer qu’il existe un plus grand idéal parmi ceux qui sont entiers sur a. On le note $\overline{a}$ et on l’appelle la fermeture intégrale de a dans A. Vérifier que si $a \subset b$ alors $\overline{a} \subset \overline{b}$ et que $\overline{a} = \overline{a}$. Montrer que si la fermeture intégrale $\overline{P(a)}$ est un P(a)-module de type fini, alors $a.a^k = a^{k+1}$ pour k assez grand. c) Montrer que si $a \in A$ satisfait la relation de dépendance intégrale

alors $a.(a + Aa)^{k-1} = (a + Aa)^k$. En déduire que la fermeture intégrale de a dans A coïncide avec l’ensemble des éléments de A qui sont entiers sur a.