Bài tập 9, § 7

(a) Cho A và a như trên và cho b là một iđêan của A chứa a. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) Mọi phần tử của b đều nguyên trên a. (ii) Đại số phân bậc $\mathscr{A}(a)$-phân bậc $\mathscr{A}(b)$ là nguyên. (iii) Đại số P(a)-phân bậc P(b) là nguyên. (iv) Tồn tại một số nguyên $k \geqslant 0$ sao cho $a.b^k = b^{k+1}$ và do đó $a^n.b^k = b^{k+n}$ với mọi số nguyên dương n. Ta nói rằng b là nguyên trên a. (b) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một iđêan lớn nhất trong số các iđêan nguyên trên a. Nó được ký hiệu là $\overline{a}$ và được gọi là bao đóng nguyên của a trong A. Kiểm tra rằng nếu $a \subset b$ thì $\overline{a} \subset \overline{b}$ và rằng $\overline{a} = \overline{a}$. Bây giờ chứng minh rằng nếu bao đóng nguyên $\overline{P(a)}$ là một môđun P(a)-hữu hạn sinh, thì $a.a^k = a^{k+1}$ với k đủ lớn. (c) Bây giờ chứng minh rằng nếu $a \in A$ thỏa mãn quan hệ phụ thuộc nguyên

thì $a.(a + Aa)^{k-1} = (a + Aa)^k$. Suy ra rằng bao đóng nguyên của a trong A trùng với tập hợp các phần tử của A là nguyên trên a.