Exercice 10, § 1

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$-module de type fini, $J$ un idéal de $A$, $(x_1,\ldots,x_r)$ une suite $M$-régulière d’éléments de $J$, avec $r < \mathrm{prof}_A(J;M)$. Soient $q_1,\ldots,q_n$ des idéaux de $A$ ne contenant pas $J$, tous premiers sauf au plus deux, et $J_0$ une partie de $J$, stable par addition et multiplication et engendrant l’idéal $J$. Prouver qu’il existe un élément $x$ de $J_0$ n’appartenant à aucun des $q_i$ tel que la suite $(x_1,\ldots,x_r,x)$ soit $M$-régulière (utiliser le cor. 2 de la prop. 2 de II, § 1, n° 1).