Exercice 17, § 1

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$-module de type fini. Montrer que $M$ est réflexif si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) pour tout $p \in \mathrm{Spec}(A)$ tel que $\mathrm{prof}(A_p) \leqslant 1$, le $A_p$-module $M_p$ est réflexif ; (ii) pour tout $p \in \mathrm{Spec}(A)$ tel que $\mathrm{prof}(A_p) \geqslant 2$, on a $\mathrm{prof}_{A_p}(M_p) \geqslant 2$.

(Sous les hypothèses (i) et (ii), prouver que le noyau, puis le conoyau de l’homomorphisme canonique $M \to M^{**}$ n’ont pas d’idéaux premiers associés.)