Exercice 3, § 1

Soient $A$ l’anneau local $k[[X, Y]]$ et $M$ la somme directe des $A$-modules $A/\alpha$, où $\alpha$ parcourt l’ensemble des idéaux principaux non nuls de $A$. Montrer qu’on a $\mathrm{prof}_A(M) = 1$, mais qu’il n’existe pas d’élément $M$-régulier dans $m_A$.