Exercice 11, § 10

Soient $A$ un anneau local noethérien, $I$ un $A$-module de Matlis, $M$ un $A$-module de type fini. On pose $\mu^p = \dim_{\kappa_A} \mathrm{Ext}_A^p(\kappa_A, M)$ pour tout $p \geqslant 0$ ($cf.$ § 8, exerc. 4). Prouver que le $A$-module gradué $H_A(M)$ s’identifie à l’homologie d’un complexe $\ldots \to 0 \to I^{\mu^0} \to I^{\mu^1} \to \ldots$ (\emph{loc. cit.}). En particulier, si $M$ est non nul, on a $\mu^p \neq 0$ pour $p = \mathrm{prof}(M)$ et $p = \dim(M)$ (exerc. 4).

11) Soient $A$ un anneau local noethérien, $M$ un $A$-module de type fini, de dimension $d$ ; on suppose que $M$ est un module de Buchsbaum ($§ 2$, exerc. 7).

a) Prouver que $H^i_A(M)$ est annulé par $m_A$ pour $i \neq d$ (traiter d’abord le cas $d = 1$, puis raisonner par récurrence sur $d$).

b) Soit $x$ un élément sécant pour $m$ ; définir pour $0 \leqslant i \leqslant d-2$ des suites exactes $0 \to H^i_A(M) \to H^i_A(M/xM) \to H^{i+1}_A(M) \to 0$.

c) Démontrer la formule $i(M) = \sum_{i=0}^{d-1} \binom{d}{i} \lg(H^i_A(M))$ (raisonner par récurrence sur l’entier $d \geqslant 1$, en utilisant b) et l’exerc. 8, d) du $§ 2$).

1 On ignore si tout anneau local noethérien satisfait (CM).