Bài tập 11, § 10

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $I$ là một môđun $A$-Matlis, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Đặt $\mu^p = \dim_{\kappa_A} \mathrm{Ext}_A^p(\kappa_A, M)$ với mọi $p \geqslant 0$ ($cf.$ § 8, Bài tập 4). Chứng minh rằng môđun $A$ phân bậc $H_A(M)$ được đồng nhất với đồng điều của một phức $\ldots \to 0 \to I^{\mu^0} \to I^{\mu^1} \to \ldots$ (\emph{loc. cit.}). Đặc biệt, nếu $M$ khác không, ta có $\mu^p \neq 0$ với $p = \mathrm{prof}(M)$ và $p = \dim(M)$ (Bài tập 4).

11) Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, có chiều $d$; giả sử rằng $M$ là một môđun Buchsbaum ($§ 2$, Bài tập 7).

a) Chứng minh rằng $H^i_A(M)$ bị triệt tiêu bởi $m_A$ với $i \neq d$ (trước hết xét trường hợp $d = 1$, sau đó suy luận bằng quy nạp theo $d$).

b) Cho $x$ là một phần tử cắt đối với $m$; định nghĩa, với $0 \leqslant i \leqslant d-2$, các dãy khớp $0 \to H^i_A(M) \to H^i_A(M/xM) \to H^{i+1}_A(M) \to 0$.

c) Chứng minh công thức $i(M) = \sum_{i=0}^{d-1} \binom{d}{i} \lg(H^i_A(M))$ (suy luận bằng quy nạp theo số nguyên $d \geqslant 1$, sử dụng b) và Bài tập 8, d) của $§ 2$).

1 Ta không biết liệu mọi vành địa phương Noether có thỏa mãn (CM) hay không.