Exercice 6, § 10

Soient $A$ un anneau local noethérien admettant un module dualisant, $M$ un $A$-module de type fini, $n$ un entier.

a) Pour que le $A$-module $H^n_A(M)$ soit de longueur finie, il faut et il suffit que pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$ distinct de $\mathfrak{m}_A$, on ait $H^{n-\dim(A/\mathfrak{p})}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}}) = 0$ (utiliser la dualité de Grothendieck).

b) Pour que $H^i_A(M)$ soit de longueur finie pour tout $i \leq n$, il faut et il suffit qu’on ait $\operatorname{prof}(M_{\mathfrak{p}}) + \dim(A/\mathfrak{p}) > n$ pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ distinct de $\mathfrak{m}_A$