Bài tập 6, § 10

Cho $A$ là một vành địa phương Noether có một môđun đối ngẫu, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, $n$ là một số nguyên.

a) Để $A$-môđun $H^n_A(M)$ có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là đối với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $A$ phân biệt với $\mathfrak{m}_A$, ta có $H^{n-\dim(A/\mathfrak{p})}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}}) = 0$ (sử dụng đối ngẫu Grothendieck).

b) Để $H^i_A(M)$ có độ dài hữu hạn với mọi $i \leq n$, điều kiện cần và đủ là ta có $\operatorname{prof}(M_{\mathfrak{p}}) + \dim(A/\mathfrak{p}) > n$ đối với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ phân biệt với $\mathfrak{m}_A$