Exercice 7, § 10

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module, $x = (x_i)_{i \in I}$ une famille finie d’éléments de $A$. Pour tout entier $n \geq 1$, on note $x^n$ la famille $(x_i^n)_{i \in I}$. Soit $\Delta(x)$ l’endomorphisme de $A^I$ défini par $\Delta(x)(e_i) = x_i e_i$.

a) Pour tout couple d’entiers $(n, m)$ tels que $n \geq m$, montrer que les applications

définissent un système inductif de complexes ; on note $K^\bullet(x^\infty, M)$ la limite de ce système, et $H^\bullet(x^\infty, M)$ sa cohomologie.

b) On choisit un ordre total sur $I$. Pour toute partie $J$ de $I$, on pose $x_J = \prod_{j \in J} x_j$.

Pour $p \in \mathbf{Z}$, on pose $\mathscr{C}^p = \bigoplus_{|J|=p} A_{x_J}$; pour $a \in A_{x_J}$, avec $\operatorname{Card}(J) = p$, on pose $d^p(a) = \sum_{i \notin J} (-1)^{\varepsilon(J, i)} \frac{a}{1}$ dans $A_{x_{J \cup \{i\}}}$, où $\varepsilon(J, i)$ est le nombre d’éléments de $J$ strictement inférieurs à $i$. Démontrer que $(\mathscr{C}, d)$ est un complexe, et définir un isomorphisme canonique de $K^\bullet(x^\infty, M)$ sur le complexe $\mathscr{C} \otimes_A M$.