Bài tập 7, § 10

Cho $A$ là một vành, $M$ là một $A$-môđun, $x = (x_i)_{i \in I}$ là một họ hữu hạn các phần tử của $A$. Với mọi số nguyên $n \geq 1$, ta ký hiệu bởi $x^n$ họ $(x_i^n)_{i \in I}$. Gọi $\Delta(x)$ là tự đồng cấu của $A^I$ được xác định bởi $\Delta(x)(e_i) = x_i e_i$.

a) Với mọi cặp số nguyên $(n, m)$ sao cho $n \geq m$, bây giờ chứng minh rằng các ánh xạ

xác định một hệ quy nạp của các phức; ta ký hiệu bởi $K^\bullet(x^\infty, M)$ giới hạn của hệ này, và bởi $H^\bullet(x^\infty, M)$ đối đồng điều của nó.

b) Ta chọn một thứ tự toàn phần trên $I$. Với mọi tập con $J$ của $I$, ta đặt $x_J = \prod_{j \in J} x_j$.

Với $p \in \mathbf{Z}$, ta đặt $\mathscr{C}^p = \bigoplus_{|J|=p} A_{x_J}$; với $a \in A_{x_J}$, với $\operatorname{Card}(J) = p$, ta đặt $d^p(a) = \sum_{i \notin J} (-1)^{\varepsilon(J, i)} \frac{a}{1}$ trong $A_{x_{J \cup \{i\}}}$, trong đó $\varepsilon(J, i)$ là số các phần tử của $J$ nhỏ hơn nghiêm ngặt $i$. Bài tập chứng minh rằng $(\mathscr{C}, d)$ là một phức, và định nghĩa một đẳng cấu chính tắc của $K^\bullet(x^\infty, M)$ lên phức $\mathscr{C} \otimes_A M$.