Exercice 8, § 10

On conserve les notations de l’exercice précédent, en supposant de plus l’anneau $A$ noethérien. On note $x$ l’idéal engendré par $x$.

a) Soit $m$ un entier. Prouver qu’il existe un entier $n_0 \geq m$ tel que pour $n \geq n_0$, le morphisme $\Lambda(\Delta(x)^{n-m}) : K_\bullet(x^n, A) \longrightarrow K_\bullet(x^m, A)$ induise $0$ sur l’homologie de degré $\geq 1$ (observer qu’on a $\Lambda^p(\Delta(x)^{n-m})(K_p(x^n, A)) \subset x^{n-m} K_p(x^m, A)$; déduire du lemme d’Artin-Rees qu’il existe un entier $n_0$ tel que $Z_p(x^m, A) \cap x^{n_0} K_\bullet(x^m, A)$ soit contenu dans $x^{rm} Z_p(x^m, A)$, et par suite dans $B_p(x^m, A)$).

b) Définir un isomorphisme canonique de $\varprojlim_n \operatorname{Ext}_A^p(A/x^n, M)$ sur $H^p(x^\infty, M)$ (se ramener à prouver que $H^p(x^\infty, M)$ est nul pour $p \geq 1$ et $M$ injectif ; dans ce cas observer que $H^p(x^\infty, M)$ s’identifie à la limite inductive des $\operatorname{Hom}_A(H_p(x^n, M))$, et utiliser a)). En particulier, si $A$ est local et si $x$ est un idéal de définition de $A$, le $A$-module gradué $H_A(M)$ est canoniquement isomorphe à $H^\bullet(x^\infty, M)$.

c) On suppose l’anneau $A$ local noethérien, de dimension $d$; soit $x = (x_1, \ldots, x_d)$ une suite sécante maximale d’éléments de $\mathfrak{m}_A$. Montrer que le $A$-module $H^d_A(M)$ s’identifie à la limite du système inductif de $A$-modules $(M_p, u_{qp})$, où $M_p$ est le module quotient $M/(x_1^p M + \ldots + x_d^p M)$ et $u_{qp} : M_p \to M_q$ ($q \geq p$) l’homomorphisme induit par l’homothétie de rapport $(x_1 \ldots x_d)^{q-p}$.