Bài tập 8, § 10

Ta giữ lại các ký hiệu của bài tập trước, giả sử thêm rằng vành $A$ là Noether. Ta ký hiệu $x$ là iđêan sinh bởi $x$.

a) Cho $m$ là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $n_0 \geq m$ sao cho với $n \geq n_0$, cấu xạ $\Lambda(\Delta(x)^{n-m}) : K_\bullet(x^n, A) \longrightarrow K_\bullet(x^m, A)$ cảm sinh $0$ trên đồng điều bậc $\geq 1$ (nhận xét rằng ta có $\Lambda^p(\Delta(x)^{n-m})(K_p(x^n, A)) \subset x^{n-m} K_p(x^m, A)$; suy ra từ bổ đề Artin-Rees rằng tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho $Z_p(x^m, A) \cap x^{n_0} K_\bullet(x^m, A)$ được chứa trong $x^{rm} Z_p(x^m, A)$, và do đó trong $B_p(x^m, A)$).

b) Định nghĩa một đẳng cấu chính tắc từ $\varprojlim_n \operatorname{Ext}_A^p(A/x^n, M)$ lên $H^p(x^\infty, M)$ (rút gọn về việc chứng minh rằng $H^p(x^\infty, M)$ bằng không với $p \geq 1$ và $M$ đơn ánh; trong trường hợp này nhận xét rằng $H^p(x^\infty, M)$ được đồng nhất với giới hạn quy nạp của $\operatorname{Hom}_A(H_p(x^n, M))$, và sử dụng a)). Đặc biệt, nếu $A$ là địa phương và nếu $x$ là một iđêan định nghĩa của $A$, thì môđun $A$ phân bậc $H_A(M)$ là đẳng cấu chính tắc với $H^\bullet(x^\infty, M)$.

c) Giả sử vành $A$ là địa phương Noether, có chiều $d$; cho $x = (x_1, \ldots, x_d)$ là một dãy cực đại các phần tử của $\mathfrak{m}_A$. Chứng minh rằng môđun $A$ $H^d_A(M)$ được đồng nhất với giới hạn của hệ quy nạp của các môđun $A$ $(M_p, u_{qp})$, trong đó $M_p$ là môđun thương $M/(x_1^p M + \ldots + x_d^p M)$ và $u_{qp} : M_p \to M_q$ ($q \geq p$) là đồng cấu cảm sinh bởi phép vị tự tỉ số $(x_1 \ldots x_d)^{q-p}$.