Exercice 9, § 10

Soient $A$ un anneau local noethérien, $d$ sa dimension, $x = (x_1, \ldots, x_d)$ une suite sécante maximale d’éléments de $\mathfrak{m}_A$.

a) Prouver qu’il existe un entier $m_0$ tel que pour $m \geq m_0$ et $n \geq 0$, on ait $(x_1^m \ldots x_d^m)^n \not\in (x_1^{m(n+1)}, \ldots, x_d^{m(n+1)})$ (utiliser les exerc. 4 et 7, b)).

b) On suppose que $A$ contient un corps de caractéristique $p$. Prouver qu’on a $(x_1 \ldots x_d)^n \not\in (x_1^{n+1}, \ldots, x_d^{n+1})$ quel que soit $n \geq 0$, c’est-à-dire que $A$ vérifie la condition

(CM) (exerc. 3 du § 2 ; considérer l’endomorphisme $x \mapsto x^p$ de $A$). Tout anneau local noethérien contenant un corps vérifie donc la condition (CM)$^1$.

c) On suppose de plus que $A$ est régulier ; soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux injectif faisant de $B$ un $A$-module de type fini. Prouver que le $A$-module $\rho(A)$ est facteur direct dans $B$ ($cf.$ § 2, exerc. 3) ; se ramener au cas où $B$ est intègre, donc local, et appliquer l’exerc. 8 du § 4).