Bài tập 9, § 10

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $d$ là chiều của nó, $x = (x_1, \ldots, x_d)$ là một dãy cực đại các phần tử của $\mathfrak{m}_A$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $m_0$ sao cho với $m \geq m_0$ và $n \geq 0$, ta có $(x_1^m \ldots x_d^m)^n \not\in (x_1^{m(n+1)}, \ldots, x_d^{m(n+1)})$ (sử dụng bài tập 4 và 7, b)).

b) Giả sử rằng $A$ chứa một trường có đặc số $p$. Chứng minh rằng ta có $(x_1 \ldots x_d)^n \not\in (x_1^{n+1}, \ldots, x_d^{n+1})$ với mọi $n \geq 0$, nghĩa là $A$ thỏa mãn điều kiện

(CM) (bài tập 3 của § 2; xét tự đồng cấu $x \mapsto x^p$ của $A$). Mọi vành địa phương Noether chứa một trường do đó đều thỏa mãn điều kiện (CM)$^1$.

c) Giả sử thêm rằng $A$ là chính quy; cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành đơn ánh làm cho $B$ là một A-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng A-môđun $\rho(A)$ là một nhân tử trực tiếp trong $B$ ($cf.$ § 2, bài tập 3); rút gọn về trường hợp $B$ là nguyên, do đó là địa phương, và áp dụng bài tập 8 của § 4).