Exercice 10, § 2

a) Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme injectif d’anneaux noethériens, tel que le sous-A-module $A1_B$ de $B$ soit facteur direct. Prouver que si $B$ est un anneau de Macaulay, il en est de même de $A$.

(Se ramener au cas où $A$ est local et, en raisonnant par récurrence sur $\operatorname{prof}_A(B)$, où $\operatorname{Ass}(B)$ contient un idéal maximal. Montrer en considérant une décomposition primaire de 0 dans $B$ que $B$ est alors isomorphe à un produit, et conclure en raisonnant par récurrence sur le nombre des idéaux maximaux de $B$.)

b) Soient $B$ un anneau de Macaulay, $G$ un groupe fini d’automorphismes de $B$ dont l’ordre est inversible dans $B$. Prouver que l’anneau des invariants de $G$ est un anneau de Macaulay.