Bài tập 10, § 2

(a) Cho $\rho : A \to B$ là một đơn cấu của các vành Noether, sao cho A-môđun con $A1_B$ của $B$ là một nhân tử trực tiếp. Chứng minh rằng nếu $B$ là một vành Macaulay thì điều tương tự cũng đúng đối với $A$.

(Rút gọn về trường hợp $A$ là địa phương và, bằng lập luận quy nạp theo $\operatorname{prof}_A(B)$, trong đó $\operatorname{Ass}(B)$ chứa một iđêan cực đại. Bây giờ chứng minh bằng cách xét một phân tích nguyên sơ của 0 trong $B$ rằng khi đó $B$ đẳng cấu với một tích, và kết luận bằng cách lập luận quy nạp theo số iđêan cực đại của $B$.)

(b) Cho $B$ là một vành Macaulay, $G$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của $B$ mà cấp của nó là khả nghịch trong $B$. Chứng minh rằng vành các bất biến của $G$ là một vành Macaulay.