Exercice 2, § 2

Soient A un anneau local de Macaulay, et $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(A)$. Montrer qu’on a $\dim(\widehat{A}/\mathfrak{q}) = \dim(A/\mathfrak{p})$ pour tout $\mathfrak{q} \in \operatorname{Ass}(\widehat{A}/\mathfrak{p}\widehat{A})$. En particulier, l’anneau $\widehat{A}/\mathfrak{p}\widehat{A}$ n’a pas d’idéal premier immergé.