Exercice 3, § 2

a) Soient R une Q-algèbre noethérienne, intègre et intégralement close, A un anneau et $\rho : R \to A$ un homomorphisme injectif, faisant de A une R-algèbre finie. Prouver que le sous-R-module $\rho(R)$ est facteur direct de A (se ramener au cor. 3 de la prop. 8). b) Soit A une Q-algèbre locale noethérienne. Démontrer que A satisfait à la propriété suivante (« condition monomiale »): (CM) pour toute suite sécante maximale $(x_1, \ldots, x_d)$ d’éléments de $\mathfrak{m}_A$ et tout entier $p$, l’élément $(x_1 \ldots x_d)^p$ n’appartient pas à l’idéal $(x_1^{p+1}, \ldots, x_d^{p+1})$. (Se ramener au cas où A est complet, donc admet un corps de représentants K, et appliquer a) à un homomorphisme $\rho : K[[X_1, \ldots, X_d]] \to A$ tel que $\rho(X_i) = x_i$.)