Bài tập 3, § 2

a) Cho $R$ là một đại số Q Noether, nguyên và đóng nguyên, $A$ là một vành và $\rho : R \to A$ là một đơn cấu, làm cho $A$ là một đại số hữu hạn trên $R$. Chứng minh rằng môđun con-$R$ $\rho(R)$ là một nhân tử trực tiếp của $A$ (rút gọn về Hệ quả 3 của Mệnh đề 8). b) Cho $A$ là một đại số Q Noether địa phương. Chứng minh rằng $A$ thỏa mãn tính chất sau («điều kiện đơn thức»): (CM) với mọi dãy chính quy cực đại $(x_1, \ldots, x_d)$ gồm các phần tử của $\mathfrak{m}_A$ và mọi số nguyên $p$, phần tử $(x_1 \ldots x_d)^p$ không thuộc iđêan $(x_1^{p+1}, \ldots, x_d^{p+1})$. (Rút gọn về trường hợp $A$ đầy đủ, do đó nhận một trường hệ số $K$, và áp dụng a) cho một đồng cấu $\rho : K[[X_1, \ldots, X_d]] \to A$ sao cho $\rho(X_i) = x_i$.)