Exercice 4, § 2

Soient A un anneau local, $\mathfrak{p}$ un idéal premier de A. On désigne par B l’anneau de fractions $A[Z][S^{-1}]$, où S est l’ensemble des éléments $Z + a$ de $A[Z]$ avec $a \in \mathfrak{m}_A - \mathfrak{p}$. On note z l’élément $Z/1$ de B. a) Prouver que $B/(z)$ est isomorphe à $A_p$ et que $B/(z-1)$ est isomorphe à A. b) On suppose désormais que l’anneau A est intègre et noethérien, et que $\mathfrak{p}$ est engendré par un élément non nul p de A. Soit C l’anneau $B[T]/(z(pT-1))$; si A est un anneau de Macaulay, il en est de même de C. Prouver que Spec C a deux composantes irréductibles $X_1$ et $X_2$ qui se coupent en un point fermé x, de façon que $\operatorname{codim}(\{x\}, X_1) = \operatorname{codim}(\{x\}, X_2) = 1$, $\dim(X_1) = 2$ et $\dim(X_2) \geqslant \dim(A_p)$. Pour tout entier n, donner un exemple avec $\dim(A_p) = n$.