Bài tập 4, § 2

Cho A là một vành địa phương, $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của A. Ta ký hiệu B là vành phân thức $A[Z][S^{-1}]$, trong đó S là tập hợp các phần tử $Z + a$ của $A[Z]$ với $a \in \mathfrak{m}_A - \mathfrak{p}$. Ta ký hiệu z là phần tử $Z/1$ của B. a) Chứng minh rằng $B/(z)$ là đẳng cấu với $A_p$ và rằng $B/(z-1)$ là đẳng cấu với A. b) Giả sử bây giờ rằng vành A là nguyên và Noether, và rằng $\mathfrak{p}$ được sinh bởi một phần tử khác không p của A. Gọi C là vành $B[T]/(z(pT-1))$; nếu A là một vành Macaulay, thì C cũng vậy. Chứng minh rằng Spec C có hai thành phần bất khả quy $X_1$ và $X_2$ giao nhau tại một điểm đóng x, sao cho $\operatorname{codim}(\{x\}, X_1) = \operatorname{codim}(\{x\}, X_2) = 1$, $\dim(X_1) = 2$ và $\dim(X_2) \geqslant \dim(A_p)$. Với mọi số nguyên n, cho một ví dụ với $\dim(A_p) = n$.