Exercice 6, § 2

On conserve les hypothèses de l’exercice précédent ; pour tout A-module de type fini N tel que $N/xN$ soit de longueur finie, on note $\chi(x, N)$ l’entier $\chi(K_\bullet(x, N))$.

a) Pour tout sous-module $M'$ de $M$, on a $\chi(x, M) = \chi(x, M') + \chi(x, M/M')$.

b) Si $x_1 M = 0$, démontrer que $\chi(x, M)$ est nul.

c) On note $x'$ la suite $(x_2, \ldots, x_n)$; prouver l’égalité

(utiliser l’exerc. 8 de A, X, p. 207).

d) Pour $1 \leqslant i \leqslant n$, on note $K_i$ le noyau de l’homothétie de rapport $x_i$ dans $M/(x_1 M + \ldots + x_{i-1} M)$. Prouver l’égalité

e) Soient $p_1, \ldots, p_n$ des entiers $> 1$, $x^P$ la suite $(x_1^{p_1}, \ldots, x_n^{p_n})$. Prouver l’égalité $\chi(x^P, M) = p_1 \ldots p_n \chi(x, M)$ (traiter d’abord le cas $n = 1$, puis s’y ramener à l’aide du cor. 2 de A, X, p. 157).