Bài tập 6, § 2

Các giả thiết của bài tập trước được giữ nguyên; với mọi A-môđun hữu hạn sinh N sao cho $N/xN$ có độ dài hữu hạn, ta ký hiệu số nguyên $\chi(x, N)$ bởi $\chi(K_\bullet(x, N))$.

a) Với mọi môđun con $M'$ của $M$, ta có $\chi(x, M) = \chi(x, M') + \chi(x, M/M')$.

b) Nếu $x_1 M = 0$, hãy chứng minh rằng $\chi(x, M)$ bằng không.

c) Ta ký hiệu dãy $(x_2, \ldots, x_n)$ bởi $x'$; hãy chứng minh đẳng thức

(dùng bài tập 8 của A, X, p. 207).

d) Với $1 \leqslant i \leqslant n$, ta ký hiệu hạt nhân của phép vị tự có tỷ số $x_i$ trong $M/(x_1 M + \ldots + x_{i-1} M)$ bởi $K_i$. Hãy chứng minh đẳng thức

e) Cho $p_1, \ldots, p_n$ là các số nguyên $> 1$, $x^P$ là dãy $(x_1^{p_1}, \ldots, x_n^{p_n})$. Hãy chứng minh đẳng thức $\chi(x^P, M) = p_1 \ldots p_n \chi(x, M)$ (trước hết xét trường hợp $n = 1$, sau đó quy về trường hợp này nhờ Hệ quả 2 của A, X, p. 157).