Exercice 7, § 2

Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini. On dit qu’une suite $(x_1, \ldots, x_n)$ est faiblement régulière pour M si pour $i = 1, \ldots, n$, le noyau de l’homothétie de rapport $x_{i+1}$ dans $M/(x_1 M + \ldots + x_i M)$ est annulé par $m_A$.

a) Si $n \leqslant \dim(M)$, prouver qu’une suite $(x_1, \ldots, x_n)$ faiblement régulière pour M est sécante pour M (raisonner par récurrence sur $n$). Donner un exemple de suite faiblement régulière non sécante (on pourra prendre $A = M = k[X]/(X^2)$, où $k$ est un corps).

b) On dit que M est un module de Buchsbaum si toute suite sécante pour M est faiblement régulière pour M. Un module macaulayen est un module de Buchsbaum ; si M est un module de Buchsbaum, le $A_p$-module $M_p$ est macaulayen pour tout idéal premier $p \neq m_A$.

c) Soient M un module de Buchsbaum, $(x_1, \ldots, x_n)$ une suite sécante pour M ; prouver que $M/(x_1 M + \ldots + x_n M)$ est un module de Buchsbaum.

d) Pour que M soit un module de Buchsbaum, il faut et il suffit que pour toute suite sécante maximale $(x_1, \ldots, x_n)$ pour M, on ait dans $M_n = M/(x_1 M + \ldots + x_{n-1} M)$ l’égalité $\mathrm{Ker}(x_n)_{M_n} = \mathrm{Ker}(x_n^2)_{M_n}$ (traiter d’abord le cas $n = 1$, en observant que $\mathrm{Ker}(x_1)_M$ est alors de longueur finie et en raisonnant par récurrence sur cette longueur. Dans le cas général, compléter toute suite sécante $(x_1, \ldots, x_i)$ en une suite sécante maximale $(x_1, \ldots, x_n)$, et considérer les suites $(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}^k, \ldots, x_n^k, x_i)$ pour $k \geqslant 1$.