Bài tập 7, § 2

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ một A-môđun hữu hạn sinh. Ta nói rằng một dãy $(x_1, \ldots, x_n)$ là yếu chính quy đối với $M$ nếu, với $i = 1, \ldots, n$, hạt nhân của phép vị tự tỉ số $x_{i+1}$ trong $M/(x_1 M + \ldots + x_i M)$ bị triệt tiêu bởi $m_A$.

a) Nếu $n \leqslant \dim(M)$, hãy chứng minh rằng một dãy yếu chính quy $(x_1, \ldots, x_n)$ đối với $M$ là dãy cắt đối với $M$ (lập luận bằng quy nạp theo $n$). Hãy cho một ví dụ về một dãy yếu chính quy không cắt (có thể lấy $A = M = k[X]/(X^2)$, trong đó $k$ là một trường).

b) Ta nói rằng $M$ là một môđun Buchsbaum nếu mọi dãy cắt đối với $M$ đều là yếu chính quy đối với $M$. Một môđun Cohen-Macaulay là một môđun Buchsbaum; nếu $M$ là một môđun Buchsbaum, thì A-môđun $M_p$ là Cohen-Macaulay với mọi iđêan nguyên tố $p \neq m_A$.

c) Cho $M$ là một môđun Buchsbaum, $(x_1, \ldots, x_n)$ là một dãy cắt đối với $M$; hãy chứng minh rằng $M/(x_1 M + \ldots + x_n M)$ là một môđun Buchsbaum.

d) Để $M$ là một môđun Buchsbaum, điều kiện cần và đủ là, đối với mọi dãy cắt cực đại $(x_1, \ldots, x_n)$ đối với $M$, trong $M_n = M/(x_1 M + \ldots + x_{n-1} M)$ ta có đẳng thức $\mathrm{Ker}(x_n)_{M_n} = \mathrm{Ker}(x_n^2)_{M_n}$ (trước hết xét trường hợp $n = 1$, nhận thấy rằng $\mathrm{Ker}(x_1)_M$ khi đó có độ dài hữu hạn và lập luận bằng quy nạp theo độ dài này. Trong trường hợp tổng quát, hoàn thành mọi dãy cắt $(x_1, \ldots, x_i)$ thành một dãy cắt cực đại $(x_1, \ldots, x_n)$, và xét các dãy $(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}^k, \ldots, x_n^k, x_i)$ với $k \geqslant 1$.