Exercice 8, § 2

Soient $A$ un anneau local noethérien, $M$ un $A$-module de type fini. On se propose de prouver l’équivalence des deux conditions suivantes :

(i) $M$ est un module de Buchsbaum ; (ii) il existe un entier positif $i(M)$ tel qu’on ait $\lg(M/qM) - e_q(M) = i(M)$ pour tout idéal $q \subset m_A$ tel que $M/qM$ soit de longueur finie.

a) Sous l’hypothèse (i), soit $x$ une suite sécante pour $M$, et soit $x$ l’idéal qu’elle engendre. Avec les notations de l’exerc. 6, d), prouver l’égalité $\lg(M/xM) - ex(M) = \lg(K_n)$. Soit $x'$ une autre suite sécante pour $M$, et soit $K'_n$ le module correspondant ; prouver l’égalité $\lg(K_n) = \lg(K'_n)$ (raisonner par récurrence sur $n$, en considérant un élément $t$ de $m_A$ tel que les suites $(x_1, \ldots, x_{n-1}, t)$ et $(x'_1, \ldots, x'_{n-1}, t)$ soient sécantes pour $M$).

b) On suppose l’hypothèse (ii) satisfaite. Soit $x = (x_1, \ldots, x_n)$ une suite sécante maximale pour $M$, et soit $M_n = M/(x_1M + \ldots + x_{n-1}M)$ ; en appliquant la formule de l’exerc. 6, d) aux suites $x$ et $(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n^2)$ (compte tenu de l’exerc. 6, e)), prouver qu’on a $\ker(x_n)_{M_n} = \ker(x_n^2)_{M_n}$. Conclure avec l’exerc. 7, d)).

c) Pour que $M$ soit un module de Buchsbaum, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de $\widehat{M}$ ; on a dans ce cas $i(\widehat{M}) = i(M)$.

d) Soient $M$ un module de Buchsbaum, et $(x_1, \ldots, x_p)$ une suite d’éléments de $m_A$ sécante pour $M$, avec $p < \dim(M)$ ; prouver qu’on a $i(M/(x_1M + \ldots + x_pM)) = i(M)$ (utiliser l’expression de $i(M)$ donnée en a)).