Bài tập 8, § 2

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Ta đề xuất chứng minh tính tương đương của hai điều kiện sau:

(i) $M$ là một môđun Buchsbaum ; (ii) tồn tại một số nguyên dương $i(M)$ sao cho có $\lg(M/qM) - e_q(M) = i(M)$ đối với mọi iđêan $q \subset m_A$ sao cho $M/qM$ có độ dài hữu hạn.

(a) Dưới giả thiết (i), cho $x$ là một dãy yếu đối với $M$, và cho $x$ là iđêan sinh bởi nó. Với các ký hiệu của Bài tập 6, d), chứng minh đẳng thức $\lg(M/xM) - ex(M) = \lg(K_n)$. Cho $x'$ là một dãy yếu khác đối với $M$, và cho $K'_n$ là môđun tương ứng ; chứng minh đẳng thức $\lg(K_n) = \lg(K'_n)$ (lập luận bằng quy nạp theo $n$, xét một phần tử $t$ của $m_A$ sao cho các dãy $(x_1, \ldots, x_{n-1}, t)$ và $(x'_1, \ldots, x'_{n-1}, t)$ là các dãy yếu đối với $M$).

(b) Giả sử giả thiết (ii) được thỏa mãn. Cho $x = (x_1, \ldots, x_n)$ là một dãy yếu cực đại đối với $M$, và cho $M_n = M/(x_1M + \ldots + x_{n-1}M)$ ; áp dụng công thức của Bài tập 6, d) cho các dãy $x$ và $(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n^2)$ (tính đến Bài tập 6, e)), chứng minh rằng có $\ker(x_n)_{M_n} = \ker(x_n^2)_{M_n}$. Kết luận với Bài tập 7, d)).

(c) Để $M$ là một môđun Buchsbaum, điều kiện cần và đủ là điều này đúng đối với $\widehat{M}$ ; trong trường hợp này $i(\widehat{M}) = i(M)$.

(d) Cho $M$ là một môđun Buchsbaum, và cho $(x_1, \ldots, x_p)$ là một dãy các phần tử của $m_A$ là một dãy yếu đối với $M$, với $p < \dim(M)$ ; chứng minh rằng có $i(M/(x_1M + \ldots + x_pM)) = i(M)$ (sử dụng biểu thức của $i(M)$ được cho trong (a)).