Exercice 9, § 2

Soit $A$ un anneau local noethérien.

a) Soient $M$ un $A$-module de type fini macaulayen, $N$ un sous-module de $M$ contenant $m_A M$. Prouver que $N$ est un module de Buchsbaum, et qu’on a $i(N) = (\dim(M) - 1)[M/N : \kappa_A]$.

b) Si $A$ est un anneau de Macaulay, l’idéal $m_A$ est un module de Buchsbaum, qui n’est pas macaulayen si $\dim(A) \geqslant 2$.

c) Soit $k$ un corps ; on prend pour $A$ le sous-anneau de $k[[X, Y]]$ engendré par $X^4, X^3Y, XY^3, Y^4$. On a $\dim(A) = 2$, $\operatorname{prof}(A) = 1$, et $A$ est un anneau de Buchsbaum, avec $i(A) = 1$ (appliquer a) en prenant pour $M$ la clôture intégrale de $A$).