Bài tập 9, § 2

Cho $A$ là một vành địa phương Noether.

a) Cho $M$ là một A-môđun sinh hữu hạn Macaulay, $N$ là một môđun con của $M$ chứa $m_A M$. Chứng minh rằng $N$ là một môđun Buchsbaum, và ta có $i(N) = (\dim(M) - 1)[M/N : \kappa_A]$.

b) Nếu $A$ là một vành Macaulay, iđêan $m_A$ là một môđun Buchsbaum, không là Macaulay nếu $\dim(A) \geqslant 2$.

c) Cho $k$ là một trường; lấy $A$ là vành con của $k[[X, Y]]$ sinh bởi $X^4, X^3Y, XY^3, Y^4$. Ta có $\dim(A) = 2$, $\operatorname{prof}(A) = 1$, và $A$ là một vành Buchsbaum, với $i(A) = 1$ (áp dụng a) lấy cho $M$ bao đóng nguyên của $A$).