Exercice 11, § 3

Soit $A$ un anneau local.

a) Soient $n$ un entier $\geq 1$, $u : A^{n-1} \to A^n$ une application $A$-linéaire, $\mathfrak{d}(u)$ l’idéal engendré par les mineurs d’ordre $n-1$ de $u$ (exerc. 8). Si $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(u); A) \geq 2$, prouver que $\mathfrak{d}(u)$ admet la résolution

où $v$ est induit par l’homomorphisme $\wedge^{n-1}(t u) : A^n \to A$ (appliquer l’exerc. 9).

b) Inversement, soit $J$ un idéal de $A$ de dimension projective 1. Prouver qu’il existe un élément simplifiable $a$ de $A$, un entier $n$ et une application $A$-linéaire $u : A^{n-1} \to A^n$ tels que $J = a \mathfrak{d}(u)$; on a $\mathrm{prof}_A(J; A) = 2$ (« théorème de Hilbert-Burch ») : déduire de l’exerc. 9 qu’une résolution minimale de $J$ est de la forme $0 \to A^{n-1} \xrightarrow{u} A^n \to J$, avec $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(u); A) \geq 2$, puis appliquer a) et l’exerc. 1 du § 1, en observant que $\mathfrak{d}(u)$ contient un élément simplifiable de $A$.