Bài tập 11, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương.

a) Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$, $u : A^{n-1} \to A^n$ là một ánh xạ $A$-tuyến tính, $\mathfrak{d}(u)$ là iđêan sinh bởi các định thức con cấp $n-1$ của $u$ (Bài tập 8). Nếu $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(u); A) \geq 2$, chứng minh rằng $\mathfrak{d}(u)$ có phân giải

trong đó $v$ được cảm sinh bởi đồng cấu $\wedge^{n-1}(t u) : A^n \to A$ (áp dụng Bài tập 9).

b) Ngược lại, cho $J$ là một iđêan của $A$ có chiều xạ ảnh 1. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử giản ước được $a$ của $A$, một số nguyên $n$ và một ánh xạ $A$-tuyến tính $u : A^{n-1} \to A^n$ sao cho $J = a \mathfrak{d}(u)$; ta có $\mathrm{prof}_A(J; A) = 2$ (“định lý Hilbert-Burch”): suy ra từ Bài tập 9 rằng một phân giải cực tiểu của $J$ có dạng $0 \to A^{n-1} \xrightarrow{u} A^n \to J$, với $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(u); A) \geq 2$, sau đó áp dụng a) và Bài tập 1 của § 1, nhận thấy rằng $\mathfrak{d}(u)$ chứa một phần tử giản ước được của $A$.

BÀI TẬP

AC X.161