Exercice 12, § 3

Soient $A$ un anneau local noethérien, $M$ et $N$ des $A$-modules non nuls de type fini. On suppose la dimension projective de $M$ finie. Soit $q$ le plus grand entier tel que

a) On suppose $\operatorname{prof}_{A}(\operatorname{Tor}^{A}_{q}(M,N))=0$. Prouver l'égalité $\operatorname{prof}_{A}(N)+q=\operatorname{dp}_{A}(M)$ (on pourra raisonner par récurrence sur $\operatorname{prof}_{A}(N)$, en considérant un élément $x$ de $\mathfrak m_{A}$ non diviseur de 0 dans $N$).

b) On suppose de plus que le $A$-module $M\otimes_{A}N$ est de longueur finie. Déduire de a) que $\operatorname{Tor}^{A}_{i}(M,N)$ est nul pour $i>\operatorname{prof}(A)-\operatorname{prof}(M)-\operatorname{prof}(N)$, et non nul lorsqu’il y a égalité. On a en particulier $\operatorname{prof}(M)+\operatorname{prof}(N)\leq\operatorname{prof}(A)$.