Bài tập 12, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ và $N$ là các $A$-môđun khác không kiểu hữu hạn. Giả sử chiều xạ ảnh của $M$ là hữu hạn. Gọi $q$ là số nguyên lớn nhất sao cho $\mathrm{Tor}_q^A(M, N) \neq 0$.

a) Giả sử rằng $\mathrm{prof}_A(\mathrm{Tor}_q^A(M, N)) = 0$. Chứng minh đẳng thức $\mathrm{prof}_A(N) + q = \mathrm{dp}_A(M)$ (có thể lập luận bằng quy nạp theo $\mathrm{prof}_A(N)$, xét một phần tử $x$ của $m_A$ không là ước của 0 trong $N$).

b) Giả sử thêm rằng $A$-môđun $M \otimes_A N$ có độ dài hữu hạn. Suy ra từ a) rằng $\mathrm{Tor}_i^A(M, N)$ là không đối với $i > \mathrm{prof}(A) - \mathrm{prof}(M) - \mathrm{prof}(N)$, và khác không khi có đẳng thức. Đặc biệt ta có $\mathrm{prof}(M) + \mathrm{prof}(N) \leq \mathrm{prof}(A)$.