Exercice 13, § 3

Soit $A$ un anneau local noethérien. On suppose satisfaite la condition suivante[^1] : (GM) pour toute $A$-algèbre locale noethérienne $B$, il existe un $B$-module $M$ tel que $\mathfrak m_{B}M\ne M$ et $\operatorname{prof}_{B}(M)=\dim(B)$.

a) Soit $P$ un complexe de $A$-modules plats, de longueur finie $\ell$, tel que $\operatorname{Supp}(H(P))=\{\mathfrak m_{A}\}$. Prouver qu’on a $\ell\geq\dim(A)$ (utiliser l’exerc. 6 du § 1)[^2].

b) Soient $B$ un anneau noethérien, $\rho:A\to B$ un homomorphisme, ${}^{a}\rho:\operatorname{Spec}(B)\to\operatorname{Spec}(A)$ l’application associée, $M$ un $A$-module de type fini. Démontrer que la codimension de ${}^{a}\rho^{-1}(\operatorname{Supp}(M))$ dans $\operatorname{Spec}(B)$ est $\leq\operatorname{dp}_{A}(M)$ (appliquer a) au complexe $L\otimes_{A}B_{\mathfrak q}$, où $\mathfrak q$ est l’idéal premier minimal d’une composante de ${}^{a}\rho^{-1}(\operatorname{Supp}(M))$ et $L$ une résolution libre de $M$).

c) Soient $M$, $N$ des $A$-modules de type fini, avec $M\ne0$. Démontrer l’inégalité

(théorème d’intersection : raisonner par récurrence sur l’entier $d=\dim(M\otimes_{A}N)$. Si $d=0$, appliquer b) à l’anneau $B=A/\operatorname{Ann}(M)$ ; dans le cas général considérer un élément de $A$ sécant pour $N$ et pour $M\otimes_{A}N$).

d) Pour qu’il existe un $A$-module de longueur finie et de dimension projective finie, il faut, et il suffit que $A$ soit un anneau de Macaulay.

[^1]: Cette hypothèse est toujours vérifiée lorsque l’anneau $A$ contient un corps, cf. M. HOCHSTER, Topics in the homological theory of modules over commutative rings, Amer. Math. Soc., Providence (1975). [^2]: Lorsque $P$ est de type fini, ce résultat est vrai sans l’hypothèse (GM), cf. P. ROBERTS, Le théorème d’intersection, C. R. Acad. Sci. Paris, sér. I, t. 304, 177-180 (1987). Par suite les résultats des exerc. 13 et 14 sont vrais pour tout anneau local noethérien $A$.