Bài tập 13, § 3

Cho $A$ là một vành Noether địa phương. Ta giả sử điều kiện sau¹ được thỏa mãn:

(GM) với mọi đại số $A$ địa phương Noether $B$, tồn tại một $B$-môđun $M$ sao cho $m_B M \neq M$ và $\mathrm{prof}_B(M) = \dim(B)$.

(a) Cho $P$ là một phức các $A$-môđun phẳng, có độ dài hữu hạn $\ell$, sao cho $\mathrm{Supp}(H(P)) = \{ m_A \}$. Chứng minh rằng $\ell \geq \dim(A)$ (sử dụng bài tập 6 của § 1)².

(b) Cho $B$ là một vành Noether, $\rho : A \to B$ là một đồng cấu, $^a\rho : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)$ là ánh xạ liên kết, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng đối chiều của $^a\rho^{-1}(\mathrm{Supp}(M))$ trong $\mathrm{Spec}(B)$ là $\leq \mathrm{dp}_A(M)$ (áp dụng a) cho phức $L \otimes_A B_q$, trong đó $q$ là iđêan nguyên tố cực tiểu của một thành phần của $^a\rho^{-1}(\mathrm{Supp}(M))$ và $L$ là một giải tự do của $M$).

(c) Cho $M, N$ là các $A$-môđun sinh hữu hạn, với $M \neq 0$. Chứng minh bất đẳng thức

(định lý giao: lý luận bằng quy nạp theo số nguyên $d = \dim(M \otimes_A N)$. Nếu $d = 0$, áp dụng b) cho vành $B = A / \mathrm{Ann}(M)$; trong trường hợp tổng quát, xét một phần tử của $A$ là phần tử cắt đối với $N$ và đối với $M \otimes_A N$).

(d) Để tồn tại một $A$-môđun có độ dài hữu hạn và chiều xạ ảnh hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $A$ là một vành Macaulay.