Exercice 14, § 3

Soient $A$ un anneau local noethérien satisfaisant la condition (GM) (exerc. 13), $M$ un $A$-module de type fini et de dimension projective finie.

a) Prouver les inégalités

Si en outre le module $M$ est parfait (exerc. 4), on a $\dim(A)=\operatorname{dp}_{A}(M)+\dim(M)$ (utiliser l’exerc. 15 du § 1).

b) Soit $\mathfrak p\in\operatorname{Supp}(M)$ ; si le $A_{\mathfrak p}$-module $M_{\mathfrak p}$ est macaulayen, l’anneau $A_{\mathfrak p}$ est un anneau de Macaulay. C’est le cas en particulier si $\mathfrak p$ est un idéal premier minimal de $\operatorname{Supp}(M)$.

c) Soit $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_r)$ une suite sécante d’éléments de $\mathfrak m_A$, qui engendre un idéal $J$ de dimension projective finie. Démontrer que la suite $\mathbf{x}$ est complètement sécante pour $A$ (soit $\mathfrak p\in V(J)$ et soit $\mathfrak q\subset\mathfrak p$ un idéal premier minimal de $V(J)$ ; observer qu’on a $\operatorname{prof}(A_{\mathfrak p})\geq\operatorname{dp}_{A_{\mathfrak p}}(A_{\mathfrak p}/J_{\mathfrak p})\geq\operatorname{dp}_{A_{\mathfrak q}}(A_{\mathfrak q}/J_{\mathfrak q})$ et $\operatorname{dp}_{A_{\mathfrak q}}(A_{\mathfrak q}/J_{\mathfrak q})\geq r$ d’après b), d’où finalement $\operatorname{prof}_A(J;A)\geq r$ ; conclure que $\mathbf{x}$ est complètement sécante à l’aide du cor. 1 du th. 1 du § 1, no° 3).

d) Prouver que toute suite $M$-régulière est $A$-régulière. (Démontrer que tout élément $a$ de $A$ dont l’annulateur $\mathfrak a$ n’est pas nul n’est pas $M$-régulier ; pour cela, se ramener par localisation au cas où $\operatorname{Supp}(M)\cap\operatorname{Supp}(\mathfrak a)=\{\mathfrak m_A\}$ ; en appliquant l’exerc. 13 a) au complexe $L\otimes_A A/\mathfrak p$, où $L$ est une résolution libre de $M$ et $\mathfrak p$ un idéal premier associé de $\mathfrak a$, prouver les inégalités $\operatorname{prof}(A)\leq\dim(A/\mathfrak p)\leq\operatorname{dp}_A(M)$ et en déduire $\operatorname{prof}(M)=0$.)

e) Pour que l’anneau $A$ soit intègre, il faut et il suffit qu’il contienne un idéal premier de dimension projective $<+\infty$ (si $\operatorname{dp}_A(\mathfrak p)<+\infty$, montrer que $A$ s’identifie à un sous-anneau de l’anneau régulier $A_{\mathfrak p}$).