Bài tập 14, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương Noether thỏa mãn điều kiện (GM) (Bài tập 13), $M$ là một $A$-môđun kiểu hữu hạn và có chiều xạ ảnh hữu hạn.

a) Chứng minh các bất đẳng thức

Nếu hơn nữa môđun $M$ là hoàn hảo (Bài tập 4), ta có $\dim(A) = \mathrm{dp}_A(M) + \dim(M)$ (dùng Bài tập 15 của § 1).

b) Cho $p \in \mathrm{Supp}(M)$; nếu $A_p$-môđun $M_p$ là Macaulay, thì vành $A_p$ là một vành Macaulay. Điều này đặc biệt đúng nếu $p$ là một iđêan nguyên tố cực tiểu của $\mathrm{Supp}(M)$.

¹ Giả thiết này luôn được thỏa mãn khi vành $A$ chứa một trường, xem M. HOCHSTER, Topics in the homological theory of modules over commutative rings, Amer. Math. Soc., Providence (1975).

² Khi $P$ là kiểu hữu hạn, kết quả này đúng mà không cần giả thiết (GM), xem P. ROBERTS, Le théorème d’intersection, C. R. Acad. Sci. Paris, sér. I, t. 304, 177-180 (1987). Do đó các kết quả của Bài tập 13 và 14 đúng với mọi vành địa phương Noether $A$.

d) Chứng minh rằng mọi dãy M-chính quy đều là A-chính quy. (Chứng minh rằng mọi phần tử $a$ của $A$ mà linh hóa tử $a$ không là không đều không là M-chính quy; để làm điều này, rút gọn bằng địa phương hóa về trường hợp $\operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(a) = \{m_A\}$; bằng cách áp dụng Bài tập 13 a) cho phức $L \otimes_A A/p$, trong đó $L$ là một phân giải tự do của $M$ và $p$ là một iđêan nguyên tố liên kết của $a$, chứng minh các bất đẳng thức $\operatorname{prof}(A) \leq \dim(A/p) \leq \operatorname{dp}_A(M)$ và suy ra $\operatorname{prof}(M) = 0 .$)

e) Để vành $A$ là nguyên, điều kiện cần và đủ là nó chứa một iđêan nguyên tố có chiều xạ ảnh $< +\infty$ (nếu $\operatorname{dp}_A(p) < +\infty$, chứng minh rằng $A$ đồng nhất với một vành con của vành chính quy $A_p$).