Exercice 16, § 3

Soient $A$ un anneau de Macaulay et $M$ un $A$-module de dimension projective finie. Prouver que pour que $M$ soit plat, il faut et il suffit que pour tout idéal $J$ de $A$ engendré par une suite complètement sécante l’homomorphisme canonique $J\otimes_A M\to JM$ soit bijectif (prouver par récurrence sur la longueur de la suite que cette condition entraîne $\operatorname{Tor}_i^A(A/J,M)=0$ pour tout $i>0$, puis, par récurrence décroissante sur $n$, $\operatorname{Tor}_n^A(N,M)=0$ pour tout $A$-module de type fini $N$ et tout entier $n>0$). Exemple : un module sans torsion sur un anneau de Dedekind est plat (cf. VII, § 2, exerc. 14).