Bài tập 16, § 3

Cho $A$ là một vành Macaulay và $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn có chiều xạ ảnh hữu hạn. Chứng minh rằng để $M$ phẳng thì điều kiện cần và đủ là với mọi iđêan $J$ của $A$ được sinh bởi một dãy cắt hoàn toàn, đồng cấu chính tắc $J \otimes_A M \to JM$ là song ánh (chứng minh bằng quy nạp theo độ dài của dãy rằng điều kiện này kéo theo $\operatorname{Tor}^A_i(A/J, M) = 0$ với mọi $i > 0$, sau đó, bằng quy nạp giảm theo $n$, $\operatorname{Tor}^A_n(N, M) = 0$ với mọi $A$-môđun sinh hữu hạn $N$ và mọi số nguyên $n > 0$). Ví dụ: một môđun không xoắn trên một vành Dedekind là phẳng (xem VII, § 2, bài tập 14).