Exercice 2, § 3

Algèbre commutative, X, p. 157

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$ -module admettant une résolution de longueur finie $(L, p)$ par des modules libres de type fini.

a) Montrer qu’on a, pour tout idéal premier $p$ de $A$ ,

\sum_{i \geq 0} (-1)^i \operatorname{rg}_A(L_i) = \sum_{i \geq 0} (-1)^i [\operatorname{Tor}_i^A(M, \kappa(p))] = \sum_{i \geq 0} (-1)^i [\operatorname{Ext}_A^i(M, \kappa(p))] ;

on note $\chi(M)$ cet entier.

b) Prouver qu’on a $\chi(M) \geq 0$ (considérer un idéal $p$ associé à $A$ ).

c) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $\chi(M) = 0$ ; (ii) l’annulateur de $M$ n’est pas réduit à zéro ; (iii) l’annulateur de $M$ contient un élément simplifiable.

(Si $\chi(M) = 0$ , prouver que $M_p$ est nul pour tout $p \in \operatorname{Ass}(A)$ ; si $\chi(M) > 0$ , prouver de même que l’annulateur de $\operatorname{Ann}(M)$ contient un élément simplifiable, ce qui entraîne $\operatorname{Ann}(M) = 0$ .)

Solution

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