Bài tập 2, § 3

Cho $A$ là một vành Noether, $M$ là một $A$-môđun có một phân giải độ dài hữu hạn $(L, p)$ bởi các môđun tự do kiểu hữu hạn.

a) Bây giờ chứng minh rằng, với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, ta có

ta ký hiệu số nguyên này bởi $\chi(M)$.

b) Chứng minh rằng ta có $\chi(M) \geq 0$ (xét một iđêan nguyên tố $p$ liên kết với $A$).

c) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) $\chi(M) = 0$ ; (ii) linh hóa tử của $M$ không rút gọn về không ; (iii) linh hóa tử của $M$ chứa một phần tử giản ước được.

(Nếu $\chi(M) = 0$, chứng minh rằng $M_p$ là không với mọi $p \in \operatorname{Ass}(A)$ ; nếu $\chi(M) > 0$, chứng minh tương tự rằng linh hóa tử của $\operatorname{Ann}(M)$ chứa một phần tử giản ước được, điều này suy ra $\operatorname{Ann}(M) = 0$.)