Exercice 3, § 3

Soit $A$ un anneau local de Macaulay. Rappelons (A, II, p. 186, exerc. 16) qu’un idéal de $A$ est dit irréductible dans $A$ s’il est distinct de $A$ et qu’il n’est pas intersection de deux idéaux le contenant strictement. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $A$ est un anneau de Gorenstein ; (ii) tout idéal de $A$ engendré par une suite sécante maximale est irréductible ; (iii) il existe une suite sécante maximale dans $A$ engendrant un idéal irréductible. (Se ramener au cas où $A$ est de dimension 0, et considérer le socle $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, A)$ de $A$.)