Bài tập 3, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương Macaulay. Nhắc lại (A, II, p. 186, exerc. 16) rằng một iđêan của $A$ được gọi là bất khả quy trong $A$ nếu nó phân biệt với $A$ và không là giao của hai iđêan chứa nghiêm ngặt nó. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) $A$ là một vành Gorenstein ; (ii) mọi iđêan của $A$ sinh bởi một dãy chính quy cực đại là bất khả quy ; (iii) tồn tại một dãy chính quy cực đại trong $A$ sinh ra một iđêan bất khả quy. (Rút gọn về trường hợp $A$ có chiều 0, và xét đế $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, A)$ của $A$.)