Exercice 4, § 3

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$-module non nul de type fini. On a $\mathrm{grade}(M) \leq \mathrm{dp}_A(M)$; on dit que $M$ est parfait s’il y a égalité. a) Soit $d$ un entier ; prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le $A$-module $M$ est parfait de dimension projective $d$; (ii) on a $\mathrm{Ext}_A^p(M, A) = 0$ pour $p \neq d$; (iii) pour tout idéal premier (resp. maximal) $p$ du support de $M$, le $A_p$-module $M_p$ est parfait de dimension projective $d$. (Prouver d’abord l’équivalence de (i) et (ii).) b) Soient $J$ un idéal de $A$ engendré par une suite complètement sécante, $m$ un entier $\geq 1$. Prouver que le $A$-module $A/J^m$ est parfait. c) Si $M$ est parfait, ses idéaux premiers associés sont les idéaux $p$ tels que $\mathrm{prof}(A_p) = \mathrm{dp}_A(M)$. d) Pour tout module parfait $N$ de dimension projective $d$, on pose $N' = \mathrm{Ext}_A^d(N, A)$. Prouver que $N'$ est parfait, de dimension projective $d$, et que $(N')'$ est isomorphe à $N$ (considérer une résolution projective de $N$). On a $\mathrm{Ass}(N') = \mathrm{Ass}(N)$. e) Soit $x$ un élément simplifiable du radical de $A$, tel que l’homothétie $x_M$ soit injective. Pour que le $A$-module $M$ soit parfait de dimension projective $d$, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi du $(A/xA)$-module $M/xM$. f) Un module macaulayen de dimension projective finie est parfait (se ramener au cas local, et raisonner par récurrence sur $\dim(M)$). g) Si $A$ est un anneau de Macaulay, les modules parfaits sont les modules macaulayens de dimension projective finie.