Bài tập 4, § 3

Cho $A$ là một vành Noether, $M$ là một $A$-môđun khác không kiểu hữu hạn. Ta có $\mathrm{grade}(M) \leq \mathrm{dp}_A(M)$; người ta nói rằng $M$ là hoàn hảo nếu có đẳng thức. a) Cho $d$ là một số nguyên; hãy chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $A$-môđun $M$ là hoàn hảo có chiều xạ ảnh $d$; (ii) có $\mathrm{Ext}_A^p(M, A) = 0$ với $p \neq d$; (iii) với mọi iđêan nguyên tố (tương ứng iđêan cực đại) $p$ của giá của $M$, $A_p$-môđun $M_p$ là hoàn hảo có chiều xạ ảnh $d$. (Trước hết hãy chứng minh sự tương đương của (i) và (ii).) b) Cho $J$ là một iđêan của $A$ sinh bởi một dãy hoàn toàn cắt ngang, $m$ là một số nguyên $\geq 1$. Hãy chứng minh rằng $A$-môđun $A/J^m$ là hoàn hảo. c) Nếu $M$ là hoàn hảo, các iđêan nguyên tố liên kết của nó là các iđêan $p$ sao cho $\mathrm{prof}(A_p) = \mathrm{dp}_A(M)$. d) Với mọi môđun hoàn hảo $N$ có chiều xạ ảnh $d$, đặt $N' = \mathrm{Ext}_A^d(N, A)$. Hãy chứng minh rằng $N'$ là hoàn hảo, có chiều xạ ảnh $d$, và $(N')'$ là đẳng cấu với $N$ (xét một phân giải xạ ảnh của $N$). Ta có $\mathrm{Ass}(N') = \mathrm{Ass}(N)$. e) Cho $x$ là một phần tử giản ước được của căn của $A$, sao cho phép vị tự $x_M$ là đơn ánh. Để $A$-môđun $M$ là hoàn hảo có chiều xạ ảnh $d$, điều kiện cần và đủ là điều tương tự đúng đối với $(A/xA)$-môđun $M/xM$. f) Một môđun Macaulay có chiều xạ ảnh hữu hạn là hoàn hảo (rút gọn về trường hợp địa phương, và suy luận bằng quy nạp theo $\dim(M)$). g) Nếu $A$ là một vành Macaulay, các môđun hoàn hảo là các môđun Macaulay có chiều xạ ảnh hữu hạn.