Exercice 6, § 3

Algèbre commutative, X

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini et de dimension projective finie, N un A-module tel que Tor_i^A(M, N) = 0 pour i > 0. a) Définir pour tout entier n un isomorphisme canonique

\operatorname{Ext}_A^n(\kappa_A, M \otimes_A N) \longrightarrow \bigoplus_{p \geq n} \operatorname{Tor}_{p-n}^A(\kappa_A, M) \otimes_k \operatorname{Ext}_A^p(\kappa_A, N),

et prouver qu’on a di_A(M \otimes_A N) \leq \operatorname{di}_A(N). (Soient (P, p) une résolution libre finie de M, (I, e) une résolution injective de N, et C le complexe P \otimes_A I. Prouver que le complexe

0 \to C^0/B^0(C) \to C^1 \to C^2 \to \ldots

définit une résolution injective de M \otimes_A N.) b) Démontrer l’inégalité prof_A(N) = dp_A(M) + prof(M \otimes_A N). En déduire une autre démonstration du th. d’Auslander-Buchsbaum. c) On suppose de plus que N est de dimension projective finie. Prouver l’égalité dp_A(M \otimes_A N) = dp_A(M) + dp_A(N). d) On suppose que A est un anneau de Gorenstein, et on note d sa dimension. Soit n un entier ; montrer que les \kappa_A-espaces vectoriels \operatorname{Ext}_A^n(\kappa_A, M), \operatorname{Tor}_{d-n}^A(\kappa_A, M) et \operatorname{Ext}_A^{d-n}(M, \kappa_A) ont même dimension.

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.