Bài tập 6, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và có chiều xạ ảnh hữu hạn, $N$ là một $A$-môđun sao cho Tor_i^A(M, N) = 0 với i > 0. (a) Định nghĩa với mỗi số nguyên n một đẳng cấu chính tắc

và chứng minh rằng ta có di_A(M \otimes_A N) \leq \operatorname{di}_A(N). (Cho (P, p) là một giải tự do hữu hạn của M, (I, e) là một giải đơn ánh của N, và C là phức P \otimes_A I. Chứng minh rằng phức

xác định một giải đơn ánh của M \otimes_A N.) (b) Chứng minh bất đẳng thức prof_A(N) = dp_A(M) + prof(M \otimes_A N). Suy ra một chứng minh khác của định lý của Auslander-Buchsbaum. (c) Giả sử thêm rằng N có chiều xạ ảnh hữu hạn. Chứng minh đẳng thức dp_A(M \otimes_A N) = dp_A(M) + dp_A(N). (d) Giả sử rằng A là một vành Gorenstein, và ký hiệu chiều của nó là d. Cho n là một số nguyên; chứng minh rằng các không gian vectơ $\kappa_A$ $\operatorname{Ext}_A^n(\kappa_A, M)$, $\operatorname{Tor}_{d-n}^A(\kappa_A, M)$ và $\operatorname{Ext}_A^{d-n}(M, \kappa_A)$ có cùng chiều.